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二分图与匈牙利算法(很有趣)

作者: 美高梅4858赌场|来源: http://www.ff-coffee.com|栏目:美高梅集团游戏网址|    日期:2019-12-05

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美高梅4858赌场,二分图

  设G=(V, E)是一个无向图。如果顶点集V可分割为两个互不相交的子集X和Y,并且图中每条边连接的两个顶点一个在X中,另一个在Y中,则称图G为二分图

  定理:当且仅当无向图G的每一个回路的次数均是偶数时,G才是一个二分图。如果无回路,相当于任一回路的次数为0,故也视为二分图。

  在图中任选一顶点v,定义其距离标号为0,然后把它的邻接点的距离标号均设为1,接着把所有标号为1的邻接点均标号为2(如果该点未标号的话),如图所示,以此类推。

  标号过程可以用一次BFS实现。标号后,所有标号为奇数的点归为X部,标号为偶数的点归为Y部。

  接下来,二分图的判定就是依次检查每条边,看两个端点是否是一个在X部,一个在Y部。

  给定一个二分图G,在G的一个子图M中,M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点,则称M是一个匹配。

  如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配,也称作完备匹配。

  增广路径的定义:设M为二分图G已匹配边的集合,若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径(P的起点在X部,终点在Y部,反之亦可),并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现,则称P为相对于M的一条增广路径。

  增广路径是一条“交错轨”。也就是说, 它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且起点和终点还没有被选择过,这样交错进行,显然P有奇数条边。

  容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对。另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路.

  1.P的路径长度必定为奇数,第一条边和最后一条边都不属于M,因为两个端点分属两个集合,且未匹配。

  2.找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配M代替M

  说穿了,就是你从二分图中找出一条路径来,让路径的起点和终点都是还没有匹配过的点,并且路径经过的连线是一条没被匹配、一条已经匹配过,再下一条又没匹配这样交替地出现。找到这样的路径后,显然路径里没被匹配的连线比已经匹配了的连线多一条,于是修改匹配图,把路径里所有匹配过的连线去掉匹配关系,把没有匹配的连线变成匹配的,这样匹配数就比原来多1个。不断执行上述操作,直到找不到这样的路径为止。

  匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想,它是部图匹配最常见的算法,该算法的核心就是寻找增广路径,它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

  通过数代人的努力,你终于赶上了剩男剩女的大潮,假设你是一位光荣的新世纪媒人,在你的手上有N个剩男,M个剩女,每个人都可能对多名异性有好感(

  -_-暂时不考虑特殊的性取向),如果一对男女互有好感,那么你就可以把这一对撮合在一起,现在让我们无视掉所有的单相思(好忧伤的感觉

  本着救人一命,胜造七级浮屠的原则,你想要尽可能地撮合更多的情侣,匈牙利算法的工作模式会教你这样做:

  一: 先试着给1号男生找妹子,发现第一个和他相连的1号女生还名花无主,got it,连上一条蓝线

  二:接着给2号男生找妹子,发现第一个和他相连的2号女生名花无主,got it

  与1号男生相连的第二个女生是2号女生,但是2号女生也有主了,怎么办呢?我们再试着给2号女生的原配(

  四: 接下来是4号男生,很遗憾,按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子,我们实在是无能为力了香吉士同学走好。

  这就是匈牙利算法的流程,其中找妹子是个递归的过程,最最关键的字就是“腾”字

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